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2013华杯赛备考“每周一练”第十七期试题

来源:华杯赛官网      2013-03-22 10:52:48

  试题一:

  在100个人之间,消息的传递是通过电话进行的,当甲与乙两个人通话时,甲把他当时所知道的一切信息全部告诉乙,乙也把自己所知道的全部信息告诉甲.请你设计一种方案,使得只需打电话196次,就可以使得每个人都知道其他所有人的信息.

  解析:2个人只需通话1次;

  3个人只需通话3次;

  4个人只需通话4次,如(a,b),(c,d),(a,c)(b,d);

  而之后每增加1个人,在最初和最后各增加1次通话即可。

  那么共需4+(100[size=5--4)×2=196次,记这100个人为1--100号,下面给出一种通话方案:

  第1次:第1号和第100号通话;

  第2次:第1号和第99号通话;

  第3次:第1号和第98号通话;

  ……

  第96次:第1号和第5号通话;

  第97次:第1号和第2号通话;

  第98次:第3号和第4号通话;

  第99次:第1号和第3号通话;

  第100次:第2号和第4号通话;

  第101次:第1号和第5号通话;

  第102次:第1号和第6号通话;

  第103次:第1号和第7号通话;

  ……

  第196次:第1号和第100号通话;

  前100次通话使得,1--4号知道所有人的信息,以后每次通话将多使一人知道全部的信息。

  试题二:

  今有长度为1,2,3,…,198,199的金属杆各一根,能否用上全部的金属杆,不弯曲其中的任何一根,把它们焊接成

  (1)一个正方体框架?

  (2)一个长方体框架?

  解析:

  (1)正方体不可能,因为正方体的12条棱长度相同,所以所有数的和应该是12的倍数。但1+2+3+…+198+199=19900,不是12的倍数。

  (2)长方体可能,因为长方体的棱长和只需要是4的倍数即可,19900是4的倍数。

  下面给出一种构造方法:

  有199=1+198=2+197=3+196=…=98+101=99+100。

  这样我们将199个金属杆变成100个长度为199的杆,这样让长、宽、高分别为199×8,199×7,199×10即可,需(8+7+10)×4=100根,正好满足。

  试题三:

  小明参加了6次数学测验,这6次测验有一个总平均分,后4次测验的平均分比总平均分多3分,第一、第二、第六这3次的平均分比总平均分少3.6分。那么前5次的平均分比总平均分(多、少)多少分?

  解析:我们将总平均分视为基准分,有第三、四、五、六次测试分数总和比4个基准分多3×4=12分;

  第一、二、六3次测试分数总和比3个基准分少3.6×3=10.8分。

  则第一、二、三、四、五、六次测试再加上1个第六次测试的分数总和比7个基准分多12——10.8=1.2分,即第六次测试的分数比基准分多1.2分。

  所以第一、二、三、四、五次测试的分数总和比5个基准分少1.2分,

  则平均分比总平均分少1.2÷5=0.24分。

  即前5次的平均分比总平均分少0.24分。

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