四年级华杯赛备考每日一题（2.13）(2)

　　在公布昨天答案之前，我们先来看看数论的常见题目：

　　第一种是求尾数，例如 32012的个位数字是多少?

　　第二种是求余数，昨天的每日一题和拓展题第一题都是属于这一类的问题

　　这两种问题一般都是通过先找规律，然后利用周期性原理来解决的。

　　最后一种是整除问题，昨天的拓展题第二题是属于这类的问题。

　　数论在杯赛中出现的概率非常的高，而且一般难度也不小，所以一定要对这一模块多加重视。

　　(2月12号)计算：22012与20122的和除以7的余数是____________

　　要求两个数的和除以7的余数，首先是要求出两个数除以7分别的余数，然后再相加。

　　先来分析22012除以7的余数，由于是2012个2相乘，肯定不可能把具体的数字求出来，所以这个肯定就是个周期性问题。

　　既然是周期性问题，先找规律：

　　21除以7，余数是2

　　22除以7，余数是4

　　23除以7，余数是1

　　24除以7，余数是2

　　25除以7，余数是4

　　26除以7，余数是1

　　27除以7，余数是2

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　　可以发现，除以7的余数每3个会出现循环，所以周期是3

　　由于，2012÷3=670……2，所以22012除以7的余数是4

　　再来看20122除以7的余数，由于2012÷7=287……3，所以2012*2012除以7的余数是3×3=9，9÷7=1……2，所以余数是2

　　两个数除以7的余数都出来了，那他们的和除以7的余数就等于 4+2=6

　　拓展题：1、11111……1(2013个1)被13除的余数是__________

　　答案：一看到2013个1，肯定又是一个周期性的问题。从小的数字开始找规律：

　　1/13余1

　　11/13余11

　　111/13余7

　　1111/13余6

　　11111/13余9

　　111111/13余0

　　1111111/13余1

　　11111111/13余11

　　所以每6个出现一次循环，周期为6。2013÷6=335……3，所以11111……1(2013个1)被13除余数为7。

　　2、对于一个自然数N，如果具有这样的性质就称为“破坏数”：把它添加到任何一个自然数的右端，形成的新数都不能被N+1整除。那么在1至10这10个自然数中有__________个“破坏数”

　　首先，所有的奇数肯定都是“破坏数”(加到右端之后的数肯定是奇数，而N+1肯定是偶数)

　　然后分别试一下2,4,6,8,10，发现只有4是“破坏数”(N+1=5，末位是4肯定不能被5整除)、

　　所以一共有1,3,4,5,7,9六个“破坏数”

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