四年级华杯赛备考每日一题（2.20）(2)

　　在公布昨天答案之前，我们还是一起来回顾一下加乘原理分别的应用范围吧：

1、加法原理：完成一件事情的不同方法，每一种方法都可以独立的完成任务

2、乘法原理：完成一件事情的不同步骤，每个步骤都是缺一不可的。

　　加乘原理本身并不难，关键在于当遇到分类讨论的时候，分类一定不能出错。

　　（2月19号答案）用数字0,1,2,3,4,5一共可以组成_____个没有重复数字且能被5整除的四位数

　　遇到这种数字问题的计数，显然是要利用加乘原理。而在用加乘原理的时候，首先要确定特殊位。这道题目中，四位数的特殊位有两个，一个是首位不能是0，另一个是末位只能是0或者5；

　　在有两个特殊位的时候首先讨论末位：由于末位可以有0，而0又不能出现在首位，所以需要分类讨论（因为如果末位是0，首位有5种选择；而末位是5，首位只有4种选择）：

（1）当末位是0时，首位有5种选择（1,2,3,4,5），第二位有4种（第一位选走了一个数字），第三位有3种，所以总共有 5×4×3=60（种）

（2）当末位是5时，首位有4种选择（1,2,3,4），第二位有4种（选走了一个，但0也可以选），第三位有3种，所以总共有 4×4×3=48（种）

　　这两种情况是相互独立的，所以利用加法原理，总共有 60+48=108（种）不同的没有重复数字且能被5整除的四位数。

　　拓展题：在所有的四位数中，各位数字之和是4的四位数有多少？

　　这道题难就难在分类，把类分好了就基本等于做出来了。我们一起来看看怎么分类：

　　首先，四位数没有要求无重复数字，也没有其他对某一位上的要求，所以特殊位其实就只有0不能出现在最前面。因此，分类的时候，只需要讨论0的个数。

（1）有3个0：4=4+0+0+0，这种情况下只有一个数，4000；

（2）有2个0：4=3+1+0+0=2+2+0+0，这两种情况要分别讨论：

　　（a)3+1+0+0：第一位有2种选择，选完第一位之后剩下三个位有两个0,两个0有3种不同的排法（00X，0X0，X00）， 所以一共有2×3=6（种）

　　（b)2+2+0+0：第一位只有1种选择，然后剩下的三位同样是3种不同排法，所以一共有 1×3=3（种）

（3）有1个0：4=2+1+1+0，这个同样要分类讨论：

　　（a)如果第一位选1，第二位有3种选择，第三位有2种选择，第四位有1种选择,所以一共有 3×2×1=6（种）

　　（b)如果第一位选2，剩下的三个位有两个1，有3种不同的排法（110，101，001）,所以一共有 3×1=3（种）

（4）有0个0:4=1+1+1+1，这种情况下只有一个数，1111；

　　所以，总共有1+6+3+6+3+1=20（个）

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