胡剑老师专题解析：奇妙的整除问题（二）

   例1.（第三届华杯赛复赛）173□是个四位数字．数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字，所得到的3个四位数，依次可被9、11、6整除．”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少？
   分析：联想被9整除的规律，各位数字和是9的倍数，1+7+3=11，加上最后一位可能的9的倍数只有18，所以第一次填的是7；接下来利用被11整除的规律：奇数位数字和与偶数位数字和之差（大减小）是11的倍数。1+3=4，7加上一个数再与4做差得到11的整数倍，这个差只有可能是11，也就是8+7-4=11，第二次填写的是8；6=2×3，所以被6整除可以理解为既可以被2整除（是偶数），又可以被3整除。考察被3整除的规律，因为1+7+3=11，所填写的数字只可能是11+1=12，11+4=15，11+7=18，因为填写的数字是个偶数，所以第三次填4，三个数字的和是19.

   例2.（第七届“祖冲之杯”数学邀请赛）一个六位数，它能被9和11整除。去掉这个六位数的首、尾两个数字，中间的四个数字是1997，那么这个六位数是_____。
   分析：1+9+9+7=26，最近的被9的整除的数是27，36，如果为27，只能是119970，显然不是11的倍数，所以为36，那么另外两位的数字之和是10，且偶数位数字之和与奇数位之和的差应该为11的倍数，目前的偶数位是7和9，奇数位是9和1，之和相差6，说明剩下两个数其中一个比另外一个多6，或者5，因为和为10，根据差与和同奇偶的原理，所以差应是6，求得两个数分别是2和8，原数为219978。

   例3.（1993年小学数学奥林匹克初赛B卷）某个七位数1993¨¨¨能够同时被 2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么它的最后三个数字依次是_____。 
   分析：被2和5整除，说明末尾是0，被9整除说明各位数字之和是9的倍数，目前各位数字之和22，剩下两个数字之和可能为5或14，如果为5的话，要被8整除，最后三位只能是320，1993320可以被7整除，满足条件；
如果为14的话，要被8整除，最后三位只能是680，1993680不能被7整除，排除，所以最后答案是320。

   接下来是几道练习题，给大家练练手！
   1、将自然数1，2，3…依次写下去组成一个数：12345678910111213…。如果到某个自然数时，所组成的数恰好第一次能被72整除，那么这个自然数是_____。
   2、将1996加一个整数，使和能被23与19整除，加的整数要尽可能小，那么所加的整数是_____。