曹争老师专题解析：奇妙的整除问题（一）

   关于数论，曾经有人说过：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作。”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重。
   让我们一起走进数论中数的整除这一奇妙的数字世界。
   首先一起回忆一个重要的知识点，整除的定义：数a除以数b，除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除.
   接下来让我们一起学习能被一些特定数字整除的数的规律。
   对这些规律我们要知其然，也要知其所以然。所以今天我们不做题目，而是一起讨论这些规律的证明过程。证明这些规律虽然不会作为考核的重点，但是其中的思想在解题的过程中有很大的作用，所以希望同学们认真思考。
    第一组：2，4，8系列
           被2整除只需看最后一位能否被2整除
           被4整除只需看最后两位能否被4整除
           被8整除只需看最后三位能否被8整除，依此类推
    第二组：5系列
           被5整除只需看最后一位是否是0或者5
           被25整除只需看最后两位能否被25整除
           被125整除只需看最后三位能否被125整除，依此类推
    第三组：3，9系列
           一个多位数各个位上的数字和能被3（9）整除，这个数就可以被3（9）整除。
    第四组：7，13，11系列
           看多位数的末三位和前面部分之差能否被7，11，13整除。
    作为例题，老师来介绍一下7，13，11，这组数字整除规律的证明思路，其他两组留给大家作为今天的思考题。
    能否被7，11，13整除要看多位数的末三位和前面部分之差能否被7，11，13整除。为什么要从 最后三位把这个数一分为二呢？仔细想一想我们会发现7×11×13=1001，正好比1000大1，由此我们可以得到如下证明：
    设一个多位数的末三位是abc，前面部分是x，那么我们要证明的就是这个多位数能否被7，11，13整除决定于abc-x能否被7，11，13整除．
由于该数=1000x+abc=1000x+x-x+abc=1001x+（abc-x），因为1001同时是7，11，13的倍数，所以这个多位数能否被7，11，13整除决定于abc-x能否被7，11，13整除，证毕．
    此外，能被11整除的数字还有另外一个规律：奇数位上的数字和与偶数位上的数字和之差（大减小）如果是11的倍数，这个数就是11的倍数。也请大家自己思考一下这种规律的证明过程。
    作业：试着分析一下为什么前三组数字会有这样的整除规律，以及思考一下被11整除的第二种规律的证明思路。（提示，利用数的拆分）