陈栋老师专题讲解：复杂抽屉原则（上）

　　首先我们来复习下抽屉原则的基本知识:

　　当我们将4个苹果放入3个抽屉里时,必有一个抽屉里有2个或2个以上的苹果。

　　因为如果每个抽屉里都不够2个苹果的话,那么3个抽屉里最多只有3个苹果,而我们一共有4个苹果,所以必有一个抽屉里有2个或2个以上的苹果。

　　将5个苹果放如3个抽屉里,必有一个抽屉里只有1个或一个以下的苹果。

　　大家不要小看这一条看似简单,又理所当然的原则,它可以帮助我们解决很多复杂的问题。

　　看一道例题:

　　例1:证明:任意给定12个不同的两位数,其中一定存在着这样的2个数,他们的差是个位与十位数字相同的两位数.

　　证明这道题很容易,首先一个数被12除的余数可以是0,1,2,……10,这11种,而题目给了我们12个数,所以必然有2个数在同一个"抽屉"里,也就是这2个数字被11除的余数是相同的,那么这两个数的差必然是11的倍数,因为12个数都是2位数,所以差也一定是2位数或者1位数,又是11的倍数,所以这个差的个位与十位数字一定相同。

　　这道例题就是抽屉原则的应用.

　　在抽屉原则的应用题目中,最重要的解题思路就是如何构造「抽屉」和「苹果」。

　　在比较复杂的抽屉原则的题目中,一般是没法一眼就看出抽屉和苹果分别是什么.那我们就需要去自己来创造"抽屉"和"苹果"。

　　我们来下一个例子:

　　例2:在边长为1的正方形内随意放进9个点,证明其中必有3个点构成的三角形的面积不大于1/8.

　　这道题目给了我们苹果,也就是9个点,这9个点要放进一个边长为1的正方形内,我们需要做的就是构造抽屉来放这些「苹果」。

　　要构成三角形，需要3个点，因此我们需要让其中一个抽屉里至少有3个点，那么抽屉的数量就是（9-1）÷（3-1）=4个。

　　将一个正方形分成4等份一般有下面几种，每份面积是1/4。

　　如果分成4个三角形，那么在三角形里的3个点构成的三角形面积最大就是1/4。

　　如果分成4个长方形或正方形，那么3个点所构成的三角形面积最大只能是每份面积的一半，也就是1/8。

　　所以这道题目的抽屉就应该是把正方形平分成4个面积是1/4的小正方形(或长方形),然后根据抽屉原则，9个点放进4个小正方形内，必有3点在同一个小正方形内，这3点所构成的三角形面积最大只能是小正方形面积的一半，也就是1/8。证完。

　　也有些题目抽屉和苹果都是看不到的，例如：

　　例3：证明，任何一个不是2和5的质数a，都可以找到一个形如1，11，111，1111，11111，111111，1111111……的数能被a整除。

　　其实这道题就是吓唬人的，做起来是很简单的。最关键的还是如何构造“抽屉”和“苹果”。

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