1979年二十一届IMO国际奥林匹克数学竞赛试题

1. m,n是满足下述条件的正整数: m/n = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... - 1/1318 + 1/1319.

求证：m可被1979整除。

2.  一个棱柱的上底和下底分别是正五边形A1A2A3A4A5、B1B2B3B4B5 。这两个正五边形的每条边以及每个 AiBj边都被染上红色或蓝色。又已知每个边都被着色的三角形（其顶点即这个棱柱的顶点）必有两边着不同色，求证：上、下底的十条边都被染上了同一种颜色。

3.  平面上的两个圆相交，A是其中一个交点。现有两质点同时从A出发各自以恒定的速度，同以顺时针方向或同以逆时针方向绕各自的圆移动，在绕过一周之后这两点又同时回到了A点。求证：在这个平面上一定存在某个固定的点P使得在任意时刻P点都与这两动点的距离相等。

4. 给定一平面k，在这个平面上有一点P，平面外有一点Q，试找出平面k上的所有的点R使得(QP + PR)/QR 为最大值。

5.  试求出所有的实数a，使得存在非负实数x1, x2, x3, x4, x5满足下列关系式：

x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 + 5x5 = a；
x1 + 23x2 + 33x3 + 43x4 + 53x5 = a2；
x1 + 25x2 + 35x3 + 45x4 + 55x5 = a3。

6.  令A、E是一个正八边形的两相对顶点，一只青蛙从A点开始跳动，除了E点外，从八边形中的其他每一个顶点都可以跳至与它相邻两顶点中的任何一个。当它跳到E点时就停止运动。设 an 为恰好经过 n步跳动以后到达E点的所有可能线路的个数，求证：

       a2n-1 = 0       a2n = (2 + √2)n-1/√2 - (2 - √2)n-1/√2。