1978年第二十届IMO国际奥林匹克数学竞赛试题

1.  m、n都是正整数且n>m。如果1978m 和1978n的十进制表示法的末三位数字相同，试求满足此条件并使m+n达到最小的m与n。

2.  P是某已知球内部一点，A、B、C是球面上三点，且有PA、PB、PC相互垂直，由PA、PB、PC决定的平行六面体与P点对角相向的顶点为Q，试求出Q点的轨迹。

3.  两不交集合{f(1), f(2), f(3), ... }和{g(1), g(2), g(3), ... }的并集是全部的正整数，其中f(1) < f(2) < f(3) < ...，g(1) < g(2) < g(3) < ... ,且有g(n) = f(f(n)) + 1对所有n=1,2,3, ...成立。试计算f(240)。

4.  等腰三角形ABC，AB = AC。在三角形ABC的外接圆的内部有一与其相切的一个小圆，该小圆又分别与AB、AC相切于P、Q两点。求证：线段PQ的中点恰为三角形ABC内切圆的圆心。

5. 令{ak} 为互不相同的正整数数列，求证对于所有的正整数n，有

∑ak/k2 >=　∑1/k；

上式中两边的求和都是k从1到n。

6. 某国际组织共有来自六个国家的共1978名会员，会员编号分别是1,2,...,1978。求证至少有某一会员的编号，恰为与他同国家的另外两位会员编号的和，或者是他同国家的两外一名会员编号的两倍。