1977年第十九届IMO国际奥林匹克数学竞赛试题

1.  在正方形ABCD中作等边三角形ABK、BCL、CDM、DAN，证明线段KL、LM、MN、NK的四个中点以及线段AK、BK、BL、CL、CM、DM、DN、AN的八个中点构成一个正十二边形的定点。

2. 在一个有限项的实数序列中，任意的相连七项之和为负，任意的相连十一项之和为正。求出这种序列最多有几项。

3.  n>2是一给定整数，Vn 是所有1+kn形式的整数构成的集合，其中k是正整数，对于Vn 中的一个数m，如果不存在Vn 中的两个数p、q使得m=pq，则称m是不可分解的。求证：Vn 中存在一数r，它可有多于一种的方式表示为Vn 中不可分解数的乘积。（乘积中若仅仅是因数的顺序不同则视为是同一种分解。）

4. 定义f(x) = 1 - a cos x - b sin x - A cos 2x - B sin 2x，其中a,b,A,B都是实数常量。如果f(x)>=0对所有实数x都成立，

求证 a2 + b2 <= 2 且 A2 + B2 <= 1.

5.  a,b是正整数，设a2 + b2除以a + b得到商为q，余数是r。试求出所有的正整数对（a,b）使得q2 + r = 1977。

6.  f是定义在所有正整数上且取值也是正整数的函数，求证如果f(n+1) > f(f(n))对所有正整数n都成立，则f(n) = n对每个n都成立。