1976年第十八届IMO国际奥林匹克数学竞赛试题

1.  平面上一凸四边形的面积是32，两对边与一对角线之和为16，求另外一个对角线的所有可能的长度。

2. 令P1(x) = x2 - 2, Pi+1 = P1(Pi(x)), i = 1, 2, 3, ...，求证对任何一个正整数n，方程式Pn(x) = x 的所有根都是互不相同的实数。

3. 一个长方形的箱子可以用单位正方体完全装满，如果用体积为2的正方体来尽量装填，使得每个边都与箱子的边平行，则恰能装满箱子的40％，求所有这种箱子的可能尺寸（长、宽、高）。

4.  试将1976分解成一些正整数之和，求这些正整数乘积的最大值，并加以证明。

5.  n是一个正整数，m = 2n， aij = 0、1或-1 （1 <= i <= n, 1 <= j <= m）。还有m个未知数x1, x2, ... , xm满足下面n个方程：

ai1x1 + ai2x2 + ... + aimxm = 0, 其中i = 1, 2, ... , n。

求证这n个方程有一组不全为0的整数解（x1, x2, ... , xm）使得|xi|<= m。

6.  一个序列u0, u1, u2, ...

定义为： u0= 2, u1 = 5/2, un+1 = un(un-12 - 2) - u1，n = 1, 2, ...

求证[un] = 2(2n - (-1)n)/3, 其中[x]表示不大于x的最大整数。