1975年第十七届IMO国际奥林匹克数学竞赛试题

1.  已知x1 >= x2 >= ... >= xn, 以及y1 >= y2 >= ... >= yn 都是实数，求证 若z1 ,z2 ,...,zn 是yi 的任意排列则有

∑(xi-yi)2   <=  ∑(xi-zi)2
上式中左右两边的求和都是i从1到n。

2.  令a1 < a2 < a3 < ... 是一递增正整数序列，求证对所有i>=1，存在无穷多个 an 可以写成  an = rai + saj的形式，其中r，s是正实数且j > i。

3.  任意三角形ABC的边上，向外作三角形ABR,BCP，CAQ，使角CBP、角CAQ都是45度，角BCP、角ACQ都是30度，角ABR、角BAR都是15度。求证角QRP是直角并且QR=RP。

4. 令A是将44444444写成十进制数字时的各位数字之和，令B时A的各位数字之和，求B的各位数字之和。

5.  判定并证明能否在单位圆上找到1975个点使得任意两点间的距离为有理数。

6.  找出所有两个变量的多项式P(x, y)使其满足：
I.         对某一正整数n及所有实数t、x、y有P(tx, ty) = tnP(x, y)成立；
II.        对所有实数x、y、z有 P(y + z, x) + P(z + x, y) + P(x + y, z) = 0;
III.        P(1, 0) = 1。