1973年第十五届IMO国际奥林匹克数学竞赛试题

1.  OP1, OP2, ... , OP2n+1 是平面上的单位向量，其中点 P1, P2, ... , P2n+1 都是位于通过点O的一条直线的同一侧，求证

|OP1 + ... + OP2n+1| >= 1.

2.  问能否在空间中找到一个不共面的有限点集M使得，对M中的任何两点A、B，都可以再在M中寻找到两点C、D，而直线AB、CD是不相同的并且是互相平行的。

3.  考虑所有这样的实数a、b使得方程

x4 + ax3 + bx2 + ax + 1 = 0

至少有一个实根。试找出 a2 + b2 的最小值。

4.  一个士兵需要在一个等边三角形的区域内探测有没有地雷，他的扫雷器的半径是三角形高的一半，士兵从三角形的一个定点出发，试问如果要完成任务且使行程最短他应该走什么样的路径？

5.  G是具有下述形式且非常值的函数的集合：
f(x) = ax + b，其中a,b,x都是实数。
并且已知G具有这些性质：
·如果f,g都属于G，则 fg(x) = f(g(x)) 也属于G；
·如果f属于G，则 f-1(x) = x/a - b/a 也属于G；
·对任何f属于G，存在一个实数 xf 使得 f(xf) = xf成立。
求证：存在实数 M 使得 f(M)=M对所有G中的函数f都成立。

6.  a1, a2, ... , an 是正实数，实数 q 满足0 < q < 1，试求出n格实数 b1, b2, ... , bn 使得：
a.ai < bi ，i = 1, 2, ... , n；
b.q < bi+1/bi < 1/q ， i = 1, 2, ... , n-1；
c.b1 + b2 + ... + bn < (a1 + a2 + ... + an)(1 + q)/(1 - q).