数学故事：点兵场上神算术

　　韩信是我国汉初的一员大奖，善于带兵。相传有一天，他在一名部将的陪同下，检阅士兵的操练。当全体士兵编成三路纵队时，韩信问：“最后一排剩多少人?”部将报告：“排尾剩下2人，”当队伍编成五路纵队时，韩信又问：“最后一排剩几人?”答说：“剩下3人”，最后韩信又下达了队伍编成七路纵队的命令，并得知排尾依旧余有2人。

　　编队结束后，韩问：“今天有多少将士参加操练?”部将回答说：“今天上场操练的应当有2345人。”韩信想了一想说：“不对吧!场上实际只有2333人，比你报的数字要少12个。”部将半信半疑，下令重新清点队伍，结果果然是2333人，一个不差，于是惊服。当部将问韩信是怎样得知准确数字时，韩信笑着说：“我是根据你刚才报的编队排尾余数算出来的。”

　　上面就是著名的“韩信点兵”的故事。故事的情节无疑是后人杜撰的，但点兵场上的神算术，却包含着深刻的科学道理。它源于公元二世纪我国古代的一部算书《孙子算经》。

　　《孙子算经》里有这样一道题：有个数字，用三除余数是二，用五除余数是三，用七除余数又是二。现在问这究竟是什么数字?由于这道问题融趣味性的困难性于一体，使得在千百年的历史长河中，演化出许多颇带神秘色彩的名字：诸如“鬼谷算”、“神奇妙算”、“简管术”、“秦王暗点兵”、“大衍求一术”等等。这些无从查考的名字，除最后一个外，实在都与问题的本身风马牛不相及。

　　这道题《孙子算经》中提供了以下答案：先把5和7相乘，再乘2，得出70，用3除余数是1；再用3和7相乘，得出21，用5除余数又是1；再用3和5乘得出15，用7除余数也是1。然后把用3除所得的余数2和70相乘，得出140；把用5除所得的余数3和21相乘，得出63；把用7除所得的余数2和15相乘，得出30。再把以上所得的140，63，30三者加起来，得233。由于3×5×7=105，所以233扣去两倍的105，得到数23。它除以3，5，7时，余数不会改变。所以23就是“物不知数”问题的最简答案。

　　以上算法可以归纳为两个式子：

　　70×2+21×3+15×2=233

　　233-105×2=23

　　公元1593年，我国明代数学家程大位，在《算法统宗》一书中，还把《孙子算经》上的方法，概括为一首颇妙的诗：

　　“三人同行七十稀，五树梅花二十一枝；

　　七子团圆正半月，除百零五便得知。”