数学趣话：刻痕与咕噜声

　　在荷马史诗中有这样一个故事；当俄底修斯刺瞎独眼巨人波吕斐摩斯并离开库克罗普斯国以后，那个不幸的盲目老人每天坐在山洞口照料他的羊群。早晨母羊外出吃草，每出来一只，他就从一堆石子中捡起一颗石子。晚上母羊返回山洞，每进去一只，他就扔掉一颗石子。当他把早晨捡起的石子都扔光时，他就确信所有的母羊全返回了山洞。

　　波吕斐摩斯的故事是利用一一对应概念作为计数根据的最早的文字记载之一。还可以举出有关这个原理的许多例证，例如，说来有点可怕，一些美洲的印地安人通过收集每个被杀者的头皮来计数他们杀敌的数目，又如，一些非洲的原始猎人通过积累野猪的牙齿来计数他们杀死野猪的数目。居住在乞力马札罗山山坡上的马萨伊游牧部落的少女，习惯在领上佩戴铜环，其个数等于自己的年龄。从前，英国的酒保往往通过用粉笔在石板上画记号来计数顾客饮酒的杯数，这就是英语成语“ｔｏ　ｃｈａｌｋ　ｏｎｅ　ｕｐ”（记上一笔）的来源；类似地，西斑牙的酒保则通过向顾客的兜帽里投放小石子来计数饮酒的杯数，因而产生了西班牙成语“ｅｃｈａｉ　ｃｈ—ｉｎａｓ”（放一个石子）。一些原始民族往往利用身体的某些部位来示不同的数。这种肢体计数法显然也是以一一对应原理为依据的。这个原理还出现在曾广泛采用的符契之中，这里是用木棒上的适当刻痕来记录帐目的，直到１８２６年英国财政部还采用符契作为法定计数器。古代秘鲁人用结绳来记载人口或其他数目，所谓结绳就是系有各种颜色的打着结的彩线的一条绳索。当然，现在的孩子们是靠核查日历来计数圣诞节或学校放假以前的天数的。几乎所有的人都常常掰着手指计数较小的数目。

　　现存的最古老的、具有数学意义的人工制品是刻着一些缺口的骨棒，这些缺口按一定的数的形式排列着，骨棒头上的窄槽里插着一片石英。１９６２年Ｊ。ｄｅ海因策林（Ｈｅｉｎｚｅｌｉｎ）在刚果的爱德华湖畔的伊尚戈渔场发现的所谓“伊尚戈骨”，其年代可以追溯到公元前９０００年到６５００年。对上面所刻缺口的数学意义只能猜测，专家们的意见还有分歧。

　　正当几千年前原始人采用在土坯或石板上刻画痕迹这个办法来计数某些集合的数日时，在数学史上最早的一个里程碑出现了。社会发展到这种程度，简单的计数已经成为不可避免的了。一个部落，一个氏族或者一个家庭，都必须在它的成员之间分配食物，也必须记住它的羊群或牛群的头数。这个过程就是应用一一对应原理的简单计数方法，也或许就是有记载的科学的肇始。

　　不难揣测：当计数一个不大的集合时，相应于集合的每一个对象，伸开或者蜷拢一个手指。在计数较大的集合时，正如上面的一些例子所表明的那样，往往采用积累石子或水棍，在土坯戒石板上做记号、在骨棒或木棒上刻缺口、在绳子上打结等等办法。或许是在后来，逐渐产生了不同的咕噜声作为表达一些较小的集合的对象个数的音符。再后来，才出现用来表示这些数目的各种书写符号（数字）。

　　虽然上面关于早期计数的发展阶段的描述在很大程度上还是猜测的，但是古人类学家关于现代原始民族的研究报告，以及在世界各地出土的一些人工制品，都是支持这种观点的。

　　在发音计数时期的最初阶段，对于同样数目的不同对象，例如两只羊和两个人，使用不同的咕噜声。对此，我们只须想到在英语中目前仍然使用的一些词组；ｔｅａｍ　ｏｆ　ｈｏｒｅｓ（一对马）、ｓｐａｎ　ｏｆ　ｍｕｌｅｓ（一对骡）、ｙｏｋｅ　ｏｆ　ｏｘｅｎ（一对牛）、ｂｒａｃｅ　Ｏｆ　ｐａｒｔｒｉｄｇｅ（一对鹧鸪）、ｐａｉｒ　ｏｆ　ｓｈｏｅｓ（一双鞋）。“二”这个共同性质的高度抽象，采用与任何具体对象无关的某一个声音来表示，这或许是很久以后才做到的。英语中所使用的数词最初很可能是指一些具体对象的集合，但是这种联系现在我们已经不得而知了，当然，ｆｉｖｅ（五）与ｈａｎｄ（手）之间的联系或许是一个例外。

　　在一些现代的原始社会中，仍然可以看出某些数词与具体计数集合之间的联系。例如，根据新几内亚东南部的巴布亚部落人采用的一种特殊的计数系统，圣经中的这一段话（约翰５：５）：“在那里有一个人，病了三十八年。”应当翻译成；“在那有一个人，病了一人（２０）、两手（１０），五和三年。”另外，由于原始民族常常用手指进行计数，所以实际上他们也采用手指的名称作为数词。例如，南美的卡马尤拉（Ｋａｍａｙｕｒａ）部落人采用“中指”一词作为数词“三”，他们把“三天”说成“中指天”。还有，南美的代尼—迪涅（Ｄｅｎｅ—Ｄｉｎｊｅ）印地安人是通过相继蜷拢手指进行计数的，所以他们也用下列相应的语言来计数：

　　“一”——“蜷拢小指”，

　　“二”——“再蜷拢无名指”，

　　“三”——“再蜷拢中指”，

　　“四”——“只伸着大指”

　　“五”——“所有手指都蜷拢”，

　　“十”———“双手的手指都蜷拢”，

　　“四天”——“只伸着大指的天”。

　　西非的曼丁哥部落人使用的“Ｋｏｎｏｎｔｏ”一词（数词“九”）字面上的意思是“腹中的婴儿”——指的是怀孕九个月，在马来亚语和阿兹台克语中，数词与具体计数对象之间的联系也是很明显的，在这两种语言中，数词“一”、“二”，“三”在宇面上指的是“一块石头”，“两块石头”、“三块石头”。类似地，在南太平洋纽埃岛人的语言小，前三个数词字面上的意思是“一个果子”、“两个果子”、“三个果子”，而在爪哇语中这三个词的意思是“一颗谷粒”、“两颗谷粒”、“三颗谷粒”。还可以举出这样一些例子，其中采用无声的语言即适当的手势，根据一一对应原理进行计数。例如，在巴布亚人的肢体计数挂中，通过接触身体的适当部位来表示较小的数，其具体对应关系如下：

　　１．　右小指　　１２．鼻

　　２．　右无名指　　１３．口

　　３．　右中指　　１４．左耳

　　４．　右食指　　１5．左肩

　　５．　右大指　　１６．左肘

　　６．　右手腕　　１７．左手腕

　　７．　右肘　　１８．左大指

　　８．　右肩　　１０．左食指

　　９．　右耳　　２０．左中指

　　１０．右眼　　２１．左无名指

　　１１．左眼　　２２．左小指

　　我们看出，除了插入的表示１２和１３的“鼻”和“口”以外，前后是对称的。

　　原始人甚至开化的人，在进行口头计数时都往往做出一些手势。例如，在一些部落中，当说到“十”时，往往用一只手拍另一只手的手心，而当说到“六”时，则使一只手迅速地划过另一只手，Ｋ·门宁格（Ｍｅｎｎｉｎｇｅｒ）说：对于某些非洲人，　可以通过观察他们在计数时的动作，来识别他们属于哪个部落、哪个种族：从左手开始还是从右手开始，蜷拢手指还是伸开手指，手心向着身体还是背着身体。

　　英国人Ｒ·梅森（Ｍａｓｏｎ）讲过关于第二次世界大战的一个有趣的故事；当印度和日本两国爆发战争时，一个日本姑娘正在印度。为了避免可能会遇到的麻烦，她的朋友把她假充中国人介绍到侨居在印度的英国人赫德利先生那里。这位英国人有点怀疑，要求这个姑娘用手指依次表示１，２，３，４，５。她踌躇了一下以后，这样做了。这时赫德利先生大笑起来，得意地说；“怎么样！你看见了吧？你看见她是怎样做的？先伸开她的手，然后把手指一个一个地蜷上。你看见过中国人这样做吗？没有！中国人和英国人一样，在数数时先把手蜷拢。她是日本人！”

　　很久以来，一一对应的概念一直被认为是计数有限集合的根据。德国数学家康托（Ｃａｎｔｏｒ）从１８７４年起发表了一系列重要文章，应用这个基本概念来计数无限集合，因此产生了关于超限数的重要理论。