数学趣话：计算发现海王星

　　一个正方形变形为一个盒子。

　　一个正方形变形为一只鸟。

　　一个正方形变形为一条蛇。

　　一个正方形变形为一头象。

　　……

　　除非你有先见之明，否则你准会以为我们将要谈些有关拓扑（注：拓扑学是一种特殊类型的几何，它研究物体在伸张或收缩的变形中保持不变的性质。不同于欧几里得几何，拓扑学不与大小、形状以及刚性图形打交道。这就是为什么拓扑学被说成是橡皮膜上的几何的原因。想象物体存在于一个能够伸张和收缩的橡皮膜上，在这样变形的过程中，人们研究那些保持不变的性质）或魔术表演之类的话题了。

　　折纸是一种艺术形式，其历史可追溯到公元５８３年。当佛教的和尚从中国经过朝鲜东渡去日本时，带去了许多纸。由于当时纸张是很昂贵的，所以人们用时格外小心，而折纸就成了一些礼仪的完整的一部分。折纸的艺术就是从那时起一代代传了下来。

　　动物、花、船和人都是折纸的创作题材。（折纸一词是源于“折的”“游戏”。）几个世纪来，人们对折纸的热情有增无减。事实上，今天在英国、比利时、法国、意大利、日本、荷兰、新西兰、秘鲁、西班牙和美国（注：美国折纸中心联谊会位于纽约西第７７街１５号，ＮＹ１００２４。英国折纸协会位于斯托克波特（英格兰西北部城市－－译者）柴郡，桑恩路１２号，ＳＫ７１ＨＱ）等国家内都有国际折纸协会的区域机构。

　　在创作折纸图形时，折纸能手是由一张正方形的纸开始的，然后运用他们的想象、技巧和决心，变形为任意的形状。

　　一个正方形之所以可以选为折纸的初始单元，因为与矩形和其他四边形相比，它有四条对称轴；而虽然圆和有些正多边形有更多的对称轴，但它们又缺少正方形所拥有的直角，这就使制作上造成了较大的困难。有时人们也用其他的纸张作为折纸的开始，但纯粹从正方形开始的折纸作品是不用胶水和剪刀的。

　　折纸的对象被创造出来后，留在正方形纸张上的折痕，揭示出大量几何的对象和性质。

　　右图所示的折痕是在折一只飞鸟时在正方形纸张上留下的。

　　在正方形纸张上的折痕表现出以下的数学概念：相似、轴对称、心对称、全等、相似比、比例、以及类似于几何分形结构的迭代（在图案内不断地重复图案）。

　　研究折纸的创作过程是极具启发性的。人们开始用一个正方形（二维物体）的纸张来折一个形体（三维物体）。如果折出了新的东西，那么折纸的人就把这个形体摊开，并研究留在正方形纸上的折痕。这个过程包含了维数的变动。折痕表示物体在扁平面（即正方体）上的二维投影。而一个二维物体到三维物体，又回到二维，这就跟投影几何的领域发生了关系。

　　《折叠天地》一书的作者Ｐ·恩格尔是一位折纸的科学和艺术专家。在他长年的折纸生涯中，有着许多珍贵的发现和创造，恩格尔使折纸达到了一个更高的境界。他强调了在折纸、数学和自然之间强有力的联系，而描画这种联系则类似于极小值问题、分形和混沌理论。

　　折纸的创作始于有限数量的材料（如一张固定大小的正方形纸）并演进为希望的样式。这里并无任何限制，也不像肥皂泡那样受现实空间的制约。

　　折纸经历了一场复兴。从早期的折纸发展到今天经历了漫长的道路。今天，专家们用纸折出了复杂的样式确实令人叹为观止。他们不用胶水、不用剪刀，巧妙地变形纸张，而且熟练的程度简直令人难以置信！最终完成的作品远非简单的盒子或花朵，而是造形逼真的动物，栩栩如生的纸的雕塑！诸如乌贼、蜘蛛、蛇、舞女、家具等等。这些创造性的成就，无疑来自长年的工作、丰富的经验和深刻的研究，就像艺术家Ｍ·Ｃ·埃舍尔献身于镶嵌艺术的发展那样。

　　数学寓于折纸之中，不管折纸人的身份如何，对数学的了解总然会在折纸中增加人们的能力和创造力。