数学故事：世界末日的传说

　　有这样一段关于“世界末日”的传说。

　　在印度北部的一个佛教的圣庙里，桌上的黄铜板上，放着三根宝石针，每根长约0.5米。据说印度教的主神梵天在创造世界时，在其中的一根针上，自上而下由大到小放了六十四片金片。每天二十四小时内，都有僧侣值班，按照以下的规律，不停地把这些金片在三根宝石针上移来移去：每次只准移动一片，且不论在那根针上，较小的金片只能放在较大的金片上。当所有六十四片金片都从梵天创造世界时所放的那根针上移到另一根针上时，世界的末日就要到临。

　　这虽是一个传说，但却引起人们的重视，大家都想知道僧侣移动完毕这六十四片金片需要多少时间。也就是说，人类在这个世界上还可以生存多少时间。让我们来算算看。

　　设原来放置金片的宝石针为甲，其它两根针为乙、丙。

　　1．设金片只有一片。显然，只要移动1次即可。

　　2．设金片只有二片。可先将较小金片移至乙针上，较大金片移至丙针上，再将较小金片从乙针移至丙针上，共移动3次。

　　3．设金片有三片。可先将上面两片金片移到乙上。按2可知，共需移动3次。再把第三片移至丙，又移一次。下面把乙上两片移至丙同2，还需三次。以上共需

　　2·3+1=7（次）。

　　4．设金片有四片。先把上面三片移至乙，按3需7次。再把第四片从甲移到丙上，又移一次。最后，把较小的三片从乙移至丙，又需移7次。以上共需移动

　　2·7+1=15（次）。

　　依此递推下去。设有k片金片，先将k-1片移至乙，需移动Sk-1次。然后再把第k片移至丙，又移一次。最后把k-1片从丙移至乙，又需Sk-1次。以上共需移动

　　（2·Sk-1+1）次。

　　这样，我们可以得到如下的递推式：

　　Sk=2·Sk-1+1。

　　根据这个递推公式，分别令k=1，2，3，……，64，得

　　S1=1＝21-1；

　　S2=2S1+1=2（21-1）+1=22-1；

　　S3＝2S2+1=2（22-1）+1=23-1；

　　S4=2S3+1=2（23-1）+1=24-1；

　　………………

　　S64=264-1=18446744073709551615。

　　如果僧侣移动金片一次需要1秒钟，移动这么多次共需约5845亿年。把这个寓言和现代科学推测对比一下倒是有意思的。按照现代的宇宙进化论，恒星、太阳、行星（包括地球）是在三十亿年前由不定形物质形成的。我们还知道，给恒星特别是给太阳提供能量的“原子燃料”还能维持100～150亿年。因此，我们太阳系的整个寿命无疑要短于二百亿年。可见远不等僧侣们完成任务，地球早已毁灭了。